منتديات الرياضيات و الفيزياء التعليمية
نرجو ان تتمتعوا معنا وان تشاركونا ارائكم بالتسجيل معنا
منتديات الرياضيات و الفيزياء التعليمية
نرجو ان تتمتعوا معنا وان تشاركونا ارائكم بالتسجيل معنا
منتديات الرياضيات و الفيزياء التعليمية
هل تريد التفاعل مع هذه المساهمة؟ كل ما عليك هو إنشاء حساب جديد ببضع خطوات أو تسجيل الدخول للمتابعة.
منتديات الرياضيات و الفيزياء التعليمية

منتدى يهتم بعالم الرياضيات و الفيزياء
 
الرئيسيةالرئيسية  البوابةالبوابة  أحدث الصورأحدث الصور  التسجيلالتسجيل  دخولدخول  

 

 مفهوم اللانهاية في الرياضيات

اذهب الى الأسفل 
2 مشترك
كاتب الموضوعرسالة
الحسن 94
مراقب عام المنتدى
مراقب عام المنتدى



عدد المساهمات : 17
تاريخ التسجيل : 17/03/2011
العمر : 30

مفهوم اللانهاية في الرياضيات  Empty
مُساهمةموضوع: مفهوم اللانهاية في الرياضيات    مفهوم اللانهاية في الرياضيات  Emptyالجمعة أبريل 08, 2011 2:39 am

اللانهاية في الرياضيات
اللانهاية في الرياضيات
منقول عن الجمعية الكونية السورية للأستاذ موسى الخوري

موسى ديب الخوري

يطرح مفهوم اللانهاية إشكالات عديدة من حيث اتساع اللانهاية أو كبرها. كيف يتعامل الرياضيون مع هذا المفهوم؟

يطرح مفهوم اللانهاية بين الرياضين وغير الرياضيين على حد سواء صعوبات كثيرة في التعامل معه. عن اللانهاية العددية يمكن تصورها من خلال المحور العددي. فالأعداد الطبيعية تتوالى على هذا المحور بلا نهاية. لكن الصعوبة في الفهم تبدأ عندما نجد أن هناك لانهايات ضمن لانهايات. فلانهاية الأعداد الفردية فقط من الأعداد الطبيعية لا تقل عن الأعداد الطبيعية نفسها. والأعداد الكسرية لانهاية تغطي كافة أعداد المحور حيث تتقارب الأعداد الكسرية من بعضها بعضاً بشكل لانهائي. لكنها مع ذلك تترك مجالاً للانهاية أوسع منها هي لانهاية الأعداد الحقيقية التي من نمط العدد p. وللعدد p وحده لانهايته إذ يمكن أن توجد كافة المتاليات الممكنة من الأرقام في أعشار العدد p. إن العدد p سيصبح ما يسميه الرياضيون عدداً كونياً، وهم لم يثبتوا ذلك بعد، لكنهم متيقنون منه. ولهذا يجب حساب عدد كاف من هذه الأعشار لرؤية ظهور هذه المتتالية. ونحن لا نعرف حالياً “سوى" 51 مليار من أعشار p. ومع ذلك فإن طريقة جديدة تماماً تسمح بحساب الأرقام المؤلفة لـ p بشكل أسرع بكثير، حيث لا يعتمد الحساب فيها على كافة الأرقام السابقة؛ ومع الأسف فإن صيغة هذه الأعشار البعيدة لا تعطي p إلا في النظام الثنائي وليس في النظام العشري.«

كيف يمكن لقطعة مستقيمة محدودة وصغيرة جداً أن تحتوي عدداً لانهائياً من الأرقام؟
إن مجموع متتالية لانهائية مثل 1 + 1\2 + 1\4 + 1\8 إلخ. يساوي 2. وهو عدد صغير ومحدود. ومع ذلك, فإن التقارب اللامتناهي بين عددين من هذه المتتالية يمكن أن يفسح مجالاً كما ذكرنا لعدد لامتناهي من الأرقام الحقيقية. فلو أخذنا شريطاً من القماش طوله متران. وضع علامة على منتصف طوله، أي على بعد متر من الطرف، وعلامة أخرى على منتصف المنتصف، أي على بعد نصف متر من العلامة السابقة، ثم علامة أخرى وهكذا دواليك. وهكذا يكون مجموع أطوال كافة قطع الشريط مساوية لمترين. يشبه ذلك معضلة أخيل، اليوناني الأصل، الذي كان يلاحق سلحفاة. فعلى الرغم من أنه كان يركض أسرع من السلحفاة، لكنه لم يكن يلحق بها كما كان يقول الفلاسفة: فهو يقطع نصف المسافة التي تفصله عن السلحفاة، ثم نصف المسافة التي تفصله عنها من جديد، إلخ.، وهكذا فإنه لا ينتهي أبداً إذ تبقى عليه مسافة ولو لامتناهية في الصغر عليه قطعها. لكن عالم الرياضيات يقول: »إنه يقطع كلاً من هذه المسافات بفترات زمنية أقل بمرتين من السابقة، وهكذا في النهاية سيلحق بالسلحفاة. لكن المسألة تصبح أكثر تعقيداً عندما نحاول إعطاءها بعداً فيزيائياً. فلو كنا ننقل كرية وفق المتوالية نفسها من صفيحة إلى أخرى فإن انتقالات الكرية تكون قد انتهت بعد ثانيتين. وستكون الكرية في إحدى الصفيحتين. والسؤال في أية صفيحة ستكون الكرية إن النقل اللانهائي السرعة يخرق قوانين النسبية لأينشتين ومبادئ الميكانيك الكمومي.« فالقول إن الكرية موجودة في هذه الصفيحة أو تلك يعني التأكيد بأنه يوجد عنصر أخير في المتتالية 1، 1\2، 1\4، إلخ. وبما أنه لا يوجد عنصر أخير، فإن السؤال غير صحيح، قال الرياضي مؤكداً.

«إن هذه المهام الفائقة التي تتلاعب بالخصائص المنتهية للانهاية لا تزال غامضة. كان الرياضي الإنكليزي جون ليتلوود John Littlewood (1885-1977) قد اخترع واحدة من هذه المسائل الأقل شهرة: ترقم كريات على الشكل 1، 2، 3، إلخ. وقبل دقيقة من منتصف الليل نضع الكريات من 1 إلى 10 في قبعة ونرفع منها الكرية 1. وقبل نصف دقيقة من منتصف الليل، نضع الـ 10 إلى 20 كرية في القبعة ونرفع منها الكرية 2. وقبل ثلث دقيقة من منتصف الليل نضع الكريات من 20 إلى 30 في القبعة ونرفع منها الكرية 3. وهكذا دواليك. فكم يكون لدينا من الكريات في القبعة في منتصف الليل؟ ولا كرية، يجيب ليتلوود، لأنه مهما كانت الكرية، فإن الكرية رقم 106 مثلاً كانت قد سُحبت في العملية 106e، أي 1\106e من الدقيقة قبل منتصف الليل.

هل يمكن بالتالي أن تحتوي اللانهايات بعضها بعضاً؟
هناك مثال طريف يعطى على اللانهاية. وهو مثال فندق يحوي عدداً لانهائياً من الغرف. ففي هذا الفندق يمكن إيواء عدد لامنته من الضيوف. وحتى إن جاء عدد لانهائي آخر فيمكن إيواؤه وذلك بنقل النزلاء من ذوي الغرف الفردية إلى غرف زوجية. وهكذا يمكن تفريغ عدد لانهائي من الغرف للقادمين الجدد. وهذا يعني أن هذا الفندق يتسع للانهاية مستمرة من القادمين الجدد. لقد اكتشف الرياضي الألماني جورج كانتور Georg Cantor (1845-1918) لانهايات أخرى أكبر أيضاً. إن لانهاية الفندق هي اللانهاية القابلة للعد: إذ يمكن ترقيم كل عنصر من المجموعة اللانهائية. أما لانهاية الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال مواضع النقاط على قطعة مستقيمة، فهي لانهاية غير قابلة للعد، ولانهاية الأعداد الحقيقية أكبر من اللانهاية القابلة للعد. وأحد التناقضات الرياضية هو التالي: مهما كانت نقطة من قطعة مستقيمة فاصلتها كسرية (أي يمكن التعبير عنها بواسطة كسر)، توجد نقطة أخرى لانهائية القرب منها ذات فاصلة كسرية هي أيضاً. ويبدو أن النقاط ذات الفواصل الكسرية "تملأ" مجمل القطعة المستقيمة: ومع ذلك فهي أقل عدداً بلانهاية من المرات على هذه القطعة المستقيمة نفسها من النقاط ذات الفواصل غير الكسرية (مثل جذر الاثنين مثلاً). إن نقاط الفاصلة غير الكسرية هذه تشكل لانهاية أكبر. ويمكننا بناء لانهايات أكبر منها أيضاً، وهناك لانهاية اللانهايات، وهي بترتيب الحجم اللانهاية القابلة للعد، ولانهاية الاتصالية، ولانهاية التوابع. “ويمكننا اختراع، لكن لا أن نتمثل أنفسنا، لانهايات إلى ما وراء لانهاية التوابع"، هذا ما كان يقوله الفيزيائي الشهير الروسي الأمريكي جورج غاموف Georges Gamow (1904-1968)
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
المدير العام
المدير العام
المدير العام



عدد المساهمات : 68
تاريخ التسجيل : 14/02/2011
الموقع : physics.7olm.org

مفهوم اللانهاية في الرياضيات  Empty
مُساهمةموضوع: رد: مفهوم اللانهاية في الرياضيات    مفهوم اللانهاية في الرياضيات  Emptyالجمعة أبريل 08, 2011 7:36 am

شكرااااااااااا اخى الحسن على الموضوع الجميل جدااااااااااا
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
https://physics.7olm.org
الحسن 94
مراقب عام المنتدى
مراقب عام المنتدى



عدد المساهمات : 17
تاريخ التسجيل : 17/03/2011
العمر : 30

مفهوم اللانهاية في الرياضيات  Empty
مُساهمةموضوع: رد: مفهوم اللانهاية في الرياضيات    مفهوم اللانهاية في الرياضيات  Emptyالأحد أبريل 10, 2011 12:21 pm

شكرا على مرورك أخ فوزي جزاك الله خيرا
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
 
مفهوم اللانهاية في الرياضيات
الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1
 مواضيع مماثلة
-
» كتاب الرياضيات في المسائل العالمية (كتاب مهم) للمبتدئين في الرياضيات
» مجموعه كتب في الرياضيات
» كتاب لاختبار الذات في الرياضيات
» سلاسل و فروض و اختبارات في الرياضيات و الفيزياء
»  برنامج رموز الرياضيات Scienc64-GDmath8 5.2

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
منتديات الرياضيات و الفيزياء التعليمية :: قسم الرياضيات :: المواضيع العامة بالرياضيات-
انتقل الى: